Los problemas en Matemática!!!

Material  extraído de:

M I N I S T E R I O D E C U L T U R A Y E D U C A C I Ó N D E L A N A C I Ó N

ZONA EDUCATIVA - EN EL AULA

La comprensión lectora en la
resolución de problemas matemáticos

La investigación en Didáctica de la Matemática y muchas reflexiones desde diferentes posturas, han demostrado la complejidad de la relación entre alumnos y problemas y de ambos con los docentes, que trasciende las explicaciones ligadas a la comprensión lectora. Sabemos que los problemas con enunciados escritos son textos que, como tales, presentan a los alumnos las dificultades propias de un texto informativo. Estas dificultades fueron descriptas en artículos sobre el tema de "Comprensión lectora" publicados en números anteriores de en el aula. En efecto, el uso de este tipo de formato para presentar problemas (formulación discursiva) comparte las dificultades de cualquier texto narrativo y expositivo1 ya que:

Son textos cuya lógica interna requiere que el lector establezca relaciones (causales y temporales) para su comprensión.

Requieren que quienes resolverán los problemas organicen los datos vinculándolos según esas relaciones y evalúen la información adquirida para tomar decisiones.

Los alumnos también poseen estrategias anticipatorias ante este tipo de textos: generalmente esperarán encontrar los datos suficientes y organizados de modo tal que les permitan resolverlo con una operación ("¿Es de sumar?" "¿Es de multiplicar?")

Con respecto a este último punto, podríamos afirmar que los alumnos esperan una "estructura canónica"; son aquellos problemas con enunciados clásicos que consisten en textos breves en los que no faltan ni sobran datos, cuya secuencia lógica de organización de los datos responde a la sucesión de operaciones que los alumnos deberán realizar para resolverlos. Por lo general, estos enunciados poseen "pistas" o "palabras claves" que facilitan las decisiones de los alumnos. Por ejemplo: Este problema responde a la estructura: 55 + 20 = x

Es decir que el orden en que fueron presentados los datos se corresponde con la secuencia en la que deben ponerse los números. La otra cuestión es que en el enunciado, hay "pistas" o palabras que no dejan duda de lo que hay que hacer: "regaló" y "más". Ambas están asociadas estrictamente a la operación de suma. El ejemplo propuesto es muy simple, pero nos sirve para analizar otros con estructura similar en los cuales estaría más encubierta la forma de presentar esas pistas. Por ejemplo:

La combinación de dos operaciones complejizó el problema, pero ofrece los datos en un orden temporal que revela nuevamente el orden de las operaciones que habrá que realizar: 1º ) 250 + 340 = X; 2º) X - 20 = Y

Es probable que los alumnos que se enfrenten a un problema como este no admitan más que una posibilidad de resolverlo. Sin embargo, el descuento de $20 podría ser restado en cualquiera de las cifras dadas, sin esperar el resultado de la suma supuestamente precedente. Es el conector "luego", el que sugiere que se resuelva en el orden presentado.

No es casual que los ejemplos dados sean problemas del primer ciclo de la actual E.G.B. Generalmente estas pistas encubiertas aparecen en los primeros abordajes de los problemas matemáticos. Desde ciertas posturas didácticas, esto se justifica por la creencia en que, para un inicio en estas actividades hay que trabajar con enunciados "simples", dejando de lado todo tipo de ambigüedad u otra cuestión que pudiera "confundir" al alumno. Sin embargo y más allá de los esfuerzos realizados en esa dirección por muchos docentes del primer ciclo, las mayores dificultades en la resolución de problemas aparecen con relevancia en el segundo y tercer ciclo de la escuela y esto pone en evidencia que aquellos esfuerzos de simplificación no son suficientes.

Desde los nuevos enfoques, se amplía el rol del alumno como lector para incorporar una nueva problemática: alumnos que construyen, a lo largo de su historia escolar, aprendizajes ligados a conceptos matemáticos junto con procedimientos específicos para la resolución de problemas. Este tipo de procedimientos marcarán notablemente su desempeño futuro en esta tarea. A partir de este último análisis nos sumergimos en una problemática que excede el área de Lengua. De aquí en más, la situación se complejiza y nos plantea nuevas perspectivas de análisis que se insertan estrictamente en la enseñanza de la Matemática.

En primera instancia, habría que definir a qué llamamos "problema" en Didáctica de la Matemática, ya que como se enunció en los párrafos anteriores, los problemas con enunciados son un tipo de problemas entre otros posibles. Llamamos problema a una situación que plantea un obstáculo al alumno, un desafío, que moviliza ideas y pensamientos para su resolución. En este sentido podríamos decir que el alumno se inserta en una situación en la que reconoce que tiene que "hacer algo" para resolverla. La solución no es evidente.

Desde esta caracterización, se incluyen distintos tipos de problemas:

Para seguir ampliando esta concepción, es importante que incluyamos el análisis de R. Charnay (citado en Cecilia Parra e Irma Saiz; 1992) con respecto a los objetivos de enseñanza que puede perseguir una propuesta basada en la resolución de problemas. Sintetizamos aquí los aspectos más relevantes de dicho análisis.

A partir de esta doble intencionalidad y considerando el planteo realizado al principio de este artículo, podríamos decir que hasta un enunciado clásico requiere de una metodología para abordarlos, que los alumnos deberán aprender. Se trata de poner en el centro de la actividad el análisis de la información como objeto de estudio y esto requiere de una intención diferenciada y un tiempo didáctico específico.

Desde esta perspectiva didáctica, los problemas cumplen un rol diferente al que históricamente han venido desempeñando. Las condiciones tradicionales para que los alumnos se iniciaran en la resolución de problemas han sido las siguientes:

1. Los alumnos debían conocer los conceptos que se iban a involucrar en los distintos problemas. Por ejemplo: los niños no resolverían problemas de suma, de resta o de fracciones si antes la maestra no "había enseñado" esos conceptos.

2. Se llamaba problema a aquello que el alumno debería resolver aplicando una manera ya demostrada. Primero se mostraba, a modo de ejemplo, la forma "correcta" de resolver un "problema tipo" y después el alumno implementaba esa forma.

3. Si tenemos en cuenta los puntos anteriores podríamos enunciar una condición implícita con respecto al momento de iniciar a los alumnos en esta tarea: los problemas, por ser enunciados, aparecían cuando el alumno podía leerlos por sus propios medios y luego de "haberse enseñado" las operaciones. Estaríamos hablando, con suerte, de la segunda mitad de 1er grado.

La secuencia clásica de enseñanza sería: explicación del tema, resolución de un problema-tipo en el cual se aplicaran las nociones enseñadas a modo de ejemplificación y, por último, la resolución de problemas por parte de los alumnos. Este último paso implicaba que los alumnos supieran tanto aplicar los conceptos (o conocieran el concepto mismo) como que conocieran el modo de resolver un problema a partir de datos dados.

Si analizamos textos escolares de circulación actual (actividad que sugerimos realizar de forma más o menos continua, cada vez que una editorial nos entregue sus producciones, especialmente antes de elegir un texto para los alumnos), podremos aún observar esta secuencia en varios de ellos.

Desde una perspectiva actualizada y apoyándonos en los resultados de investigaciones en Didáctica de la Matemática realizadas tanto en nuestro país como en otros países,2 proponemos un abordaje distinto para enseñar a resolver problemas:

1. Iniciar a los alumnos en los problemas desde el abordaje inical de un nuevo conocimiento (Objetivos de orden cognitivo). Hoy podemos asegurar que sólo a partir de incluir las nociones matemáticas como herramientas para resolver problemas los alumnos podrán construir el sentido de lo que están aprendiendo.

2. A partir del uso de esos conceptos que resultaron útiles para resolver el o los problemas dados, los niños podrán analizarlos. En efecto, los conceptos usados se transforman en objeto de reflexión a través de la mediación del docente. Desde esta experiencia los nuevos conocimientos se formalizan, el docente los constituye en un objeto cultural.

3. Según lo dicho, resolver problemas a partir de datos dados es una tarea constante de los alumnos. No obstante esto, se propone un trabajo específico, con objetivos específicos (Objetivos de orden metodológicos) para enseñar a tratar información, presentando los datos en diferentes formatos y con diferentes niveles de complejidad: enunciados con datos insuficientes o con datos de más, problemas sin resolución, formulación de problemas a partir de cuadros o esquemas dados, etc.

Esta secuencia de enseñanza, determina líneas de acción tanto para el Jardín como para los distintos ciclos de la E.G.B. Por eso insistimos, por ejemplo, en que los alumnos del Nivel Inicial pueden y deben usar números para resolver problemas antes de que comprendan conceptualmente aquello que están usando; creemos que es a través del uso y la reflexión sobre el uso, que los alumnos logran vincularse con la complejidad conceptual que poseen los números.

Así también, la actividad de resolver problemas desde el aspecto metodológico, puede proponerse desde el Jardín. A modo de ejemplo podemos mencionar las clásicas actividades de esconder un objeto en la sala y luego "adivinar" , a través de preguntas, el objeto escondido o el lugar en el que se encuentra. También aquellos juegos que actualmente se encuentran en cualquier juguetería, en los cuales la estructura de preguntas y respuestas provocan un interesante análisis de la información dada. También se puede trabajar con problemas de enunciados orales.

Respecto a este último punto, recordemos que, según los especialistas en Lengua, un texto informativo oral comparte con el escrito la complejidad de la organización de la información y espera, de quienes lo escuchan, las mismas estrategias del lector.

Consideramos importante incluir un análisis de los errores más frecuentes al trabajar con problemas, para continuar ampliando el espectro de explicaciones que nos permitirán comprender las razones por las que nuestros alumnos tienen dificultades para resolver problemas. Desde el rol docente, este análisis nos involucra tanto desde nuestra historia como alumnos en una clase de matemática como desde lo aprendido en los institutos de formación docente. Para realizar exhaustivamente este análisis se requeriría de más investigación -aunque hay suficiente como para comenzar a revisar las prácticas- y de nuevas publicaciones que expliquen el fenómeno didáctico y nos ofrezcan alternativas a considerar. A modo de síntesis y con el objetivo de orientar la reflexión sobre las prácticas, hemos tratado de describir algunos de los errores más observados en clases de matemática que, pensamos, influyen en los aprendizajes metodológicos de los alumnos para resolver problemas.

Interpretar como dificultades de los alumnos una resolución diferente a la canónica o distinta, en tanto no se acerca a lo esperado por el docente.

Por ejemplo, tomemos el siguiente enunciado clásico: Algunos niños realizan el siguiente procedimiento para resolverlo: Parten del 34 y completan: +10, 44. Luego toman el 44 y cuentan hasta llegar a 50. Logran el 16.

Posiblemente, si tienen que producir una escritura, escribirán: "34 + 16 = 50". La misma escritura se podría producir si el niño encuentra el 16 como resultado de completar desde 34 contando de uno en uno, ya que estos números lo posibilitan: 34, 35, 36, etc. Pero es probable que el docente espere que sus alumnos realicen el siguiente razonamiento: "al 50, le resto 34, entonces, 50 - 34 = 16", en consecuencia, no considera correcto al procedimiento anterior.

Este punto, en su totalidad, se vincula con el escaso entrenamiento que ha ofrecido la formación docente para interpretar producciones de los alumnos para comprender el modo de pensar de los niños antes de "corregirlos" si fuera necesario. Sería importante que este tipo de análisis fuera considerado lo antes posible en la formación de grado de los docentes.

Los modos de presentar la información influyen en el tratamiento de la información.

El modo de presentar la información influye sobre la comprensión: la formulación discursiva, como hemos visto, presenta obstáculos a los alumnos que es necesario considerar. Otros tipos de formulaciones generan distintos obstáculos para los alumnos y es habitual que no se los considere en su especificidad: esquemas, cuadros, gráficos, etc.

La enseñanza de la lectura de cuadros, gráficos, esquemas, podría incluirse desde los primeros niveles de la escolaridad básica ya que, generalmente, los alumnos que obtienen respuestas exitosas ante problemas cuyos datos se presenten con estas formas, son los habituados, en su vida diaria, a leer este tipo de representaciones. Los alumnos producen resoluciones alternativas a los problemas dados. Las aproximaciones iniciales a un nuevo concepto no son consideradas como resoluciones intermedias.

Podríamos pensar que un alumno que se está iniciando en la comprensión del concepto de suma, por ejemplo, resuelve estos problemas partiendo de lo que sabe y lo que comprendió en situaciones de clase. Este proceso de aproximación al concepto es diferente en cada alumno, en cuanto a los tiempos que insume acercarse a ciertas formalizaciones y escrituras. Sin embargo, se espera que todos los alumnos respondan en tiempos más o menos parejos. En consecuencia, cualquier procedimiento intermedio -en el caso de la suma podría ser el uso de palitos para contarlos luego y obtener el resultado- puede ser considerado incorrecto, ya que no logra una escritura numérica.

Los puntos descriptos se unen a los ya mencionados anteriormente en lo que se refiere al uso de palabras claves en los enunciados y a la búsqueda de la menor ambigüedad posible para que los alumnos resuelvan según lo esperado. Como se dijo anteriormente, este punteo es sólo una síntesis breve de errores didácticos frecuentes en situaciones de clase de resolución de problemas.

Sabemos que existen investigaciones recientes en las que se describen otras dificultades cuya descripción excedería la finalidad propuesta para este artículo. Pero es importante mencionarlas para que el lector interesado se plantee su búsqueda: nos referimos a las líneas de investigaciones que dirige y realiza Guy Brousseau y también a las de Yves Chevallard. Éste último plantea los problemas didácticos desde una vertiente antropológica, cuyo análisis sería importante incluir a la hora de realizar propuestas de capacitación.

Hemos tratado de explicar qué implica resolver problemas, intentando mostrar que las dificultades que encuentran los alumnos para resolverlos excede el terreno de lo lingüístico. Se planteó la complejidad en contraste con la explicación reducida a la comprensión lectora de los alumnos como origen de dichas dificultades.

También hemos tratado de repartir responsabilidades en relación con los posibles orígenes de dichas dificultades, incluyendo la acción didáctica como objeto de análisis, tanto como la que compete a los capacitadores y a las propuestas editoriales que marcan una línea específica de trabajo. Tampoco queremos dejar de mencionar las dificultades propias de la diferenciación social que afecta a algunos niños a la hora de aprender matemática. Éstas se ponen de manifiesto en la construcción de sistemas de representación para el análisis de datos y para la toma de decisiones en función de hallar un procedimiento de resolución.

ACTIVIDADES:

En forma individual

 1-Realizar una lectura global o rápida para saber de que trata. Registrar las   ideas extraídas.

En grupo de no más de 5 alumnos

 2-  Intercambian  lo realizado en la actividad 1.

 3-Realizar una lectura comprensiva  considerando párrafo por párrafo a   efectos de ir subrayando ideas principales y secundarias .

 4-Usa el diccionario  cuando sea necesario, registrando en una ficha o en una  hoja aparte las palabras  que no sepas el significado. Registra también el significado de esas palabras encontradas en el diccionario

 5-Elabora un resumen de la lectura

 6-Elabora una síntesis de la lectura

 7-Elabora un cuadro  sinóptico o esquema o mapa conceptual  para explicar  el análisis e interpretación de la lectura

8-PUESTA EN COMÚN

9-CIERRE DE LA TERCERA  JORNADA A CARGO DEL PROFESOR